別誤用平均數,您真的了解「平均數」嗎!?

先問大家一個問題,「一輛汽車行駛一段路程,前半段時速60公里,後半段時速30公里(兩段距離相同),請問其平均速率為?」

再問大家另一個問題,「某公司過去3年的營業額成長率,分別為10%,-3%,14%,請問,該公司這3年的營業額每年平均成長率為?」

關於第一個問題,許多人的答案是(60+30)/2=45 (時速45公里);至於第二個問題,大部分的人其答案是(10–3+14)/3=7(平均成長率7%)。

在敘述性統計裡,最常用到且最常被誤用的,莫過於平均數(Mean)了。被誤用的第一個原因,就在於不了解平均數的類型,或是認為所有平均的概念,就是先將各項數值相,加再除上數值的數量。

事實上,平均數包括:算術平均數(Arithmetic Mean)、幾何平均數(Geometric Mean)、與調和平均數(Harmonic Mean)。

當婆婆媽媽在市場上看到高麗菜一斤開價50元,隨即出價40元,挑價還價之後,雙方最後各退一步,以45元成交((50+40)/2=45)。這是算數平均數的概念。

以兩個數值為例,其公式為 (a+b)/2 。

而幾何平均數(Geometric Mean)則適用於比率數據的平均,因此計算某公司過去3年營業額 (10%,-3%,14%)的平均成長率,應該採用幾何平均數的公式,以三個數值為例,其公式為 (abc)^(1/3 )。

(1.1X0.97X1.14)^(1/3)–1=0.067,所以平均成長率是6.7%。

至於計算平均速率,則應該要用調和平均數(Harmonic Mean)。以兩個數值為例,其公式為 2/((1/a)+(1/b)) 。因此,前半段時速60公里,後半段時速30公里(兩段距離相同),其平均速率為

2/((1/60)+(1/30)) = 40 公里。

最後,愛因斯坦(Albert Einstein)的好友心理學家馬科斯·韋特墨(Max Wertheimer),曾經出了一道考題給他:

請想像一下,您正開著一台老爺車,準備完成一段上坡一英里、下坡一英里的旅程。上坡時,您的時速為15英里。請問,如果想要達成全程「平均」一小時30英里的時速,在下坡時,您的時速應該是多少英里。您的答案是?(如圖1所示) 。

圖1 時速計算示意圖

答案不是45英里,答案是無法達成。因為上坡一英里,時數15英里,所以費時4分鐘(60/15=4)。而要達成全程平均一小時30英里的時速,而全程為二英里,一樣費時4分鐘(120/30=4)。但因為上坡時已經花了4分鐘,所以下坡時開得再快,也無法達成。如果您答不出來,也不用沮喪,因為愛因斯坦第一時間也被這個題目騙了。

作者:羅凱揚(台科大企管系博士)、蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)

繪圖者:謝瑜倩

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