別誤用平均數，您真的了解「平均數」嗎！？

先問大家一個問題，「一輛汽車行駛一段路程，前半段時速60公里，後半段時速30公里（兩段距離相同），請問其平均速率為？」

再問大家另一個問題，「某公司過去3年的營業額成長率，分別為10%，-3%，14%，請問，該公司這3年的營業額每年平均成長率為？」

關於第一個問題，許多人的答案是（60+30）/2=45 （時速45公里）；至於第二個問題，大部分的人其答案是（10–3+14）/3=7（平均成長率7%）。

在敘述性統計裡，最常用到且最常被誤用的，莫過於平均數（Mean）了。被誤用的第一個原因，就在於不了解平均數的類型，或是認為所有平均的概念，就是先將各項數值相，加再除上數值的數量。

事實上，平均數包括：算術平均數（Arithmetic Mean）、幾何平均數（Geometric Mean）、與調和平均數（Harmonic Mean）。

當婆婆媽媽在市場上看到高麗菜一斤開價50元，隨即出價40元，挑價還價之後，雙方最後各退一步，以45元成交（（50+40）/2=45）。這是算數平均數的概念。

以兩個數值為例，其公式為 （a+b）/2 。

而幾何平均數（Geometric Mean）則適用於比率數據的平均，因此計算某公司過去3年營業額 （10%，-3%，14%）的平均成長率，應該採用幾何平均數的公式，以三個數值為例，其公式為 （abc）^（1/3 ）。

（1.1X0.97X1.14）^（1/3）–1=0.067，所以平均成長率是6.7%。

至於計算平均速率，則應該要用調和平均數（Harmonic Mean）。以兩個數值為例，其公式為 2/（（1/a）+（1/b）） 。因此，前半段時速60公里，後半段時速30公里（兩段距離相同），其平均速率為

2/（（1/60）+（1/30）） = 40 公里。

最後，愛因斯坦（Albert Einstein）的好友心理學家馬科斯·韋特墨（Max Wertheimer），曾經出了一道考題給他：

請想像一下，您正開著一台老爺車，準備完成一段上坡一英里、下坡一英里的旅程。上坡時，您的時速為15英里。請問，如果想要達成全程「平均」一小時30英里的時速，在下坡時，您的時速應該是多少英里。您的答案是？（如圖1所示） 。

答案不是45英里，答案是無法達成。因為上坡一英里，時數15英里，所以費時4分鐘（60/15=4）。而要達成全程平均一小時30英里的時速，而全程為二英里，一樣費時4分鐘（120/30=4）。但因為上坡時已經花了4分鐘，所以下坡時開得再快，也無法達成。如果您答不出來，也不用沮喪，因為愛因斯坦第一時間也被這個題目騙了。

作者：羅凱揚（台科大企管系博士）、蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）

繪圖者：謝瑜倩

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