小時了了，大未必佳─迴歸均值的有趣現象

先問一個問題，您會不會好奇，在您離開校園一、二十年之後，當年那些功課很好的同學，他們現在在哪裡？他們的社會成就有比您優秀嗎？而經過多方探索，往往您可能會發現，當年那些功課不得了的同學，長大後有些也實在不怎麼樣，出社會就是表現平平，就是所謂的「小時了了，大未必佳」。其實，看完今天的內容，您就會了解這種情況就是統計學上所稱的「迴歸均值」的特殊現象。

1886年，英國遺傳學家弗朗西斯·高爾頓爵士（Sir Francis Galton）在《人類學學院學報（Journal of the Anthropological Institute）》期刊上，發表了一項有趣的研究成果，名為〈遺傳身材回歸平凡（Regression towards mediocrity in hereditary stature）〉。

高爾頓的研究結論是這樣子來的，父母親與他們的子女之間的身高，往往具有相關性，個子高大的父母，通常會生下高個子的小孩，因為身高通常會遺傳。以中國的球星姚明為例，他在官方的紀錄上，身高是226公分，從普通人眼中來看，的確就是個不折不扣的「巨人」。而他的太太葉莉，同樣是個籃球運動員，身高190公分，跟一般中國女性相比，也高人一等，而姚明的女兒姚沁蕾，據說九歲時，就已接近170公分。（原文網址：https://kknews.cc/sports/34emer8.html）。

當然，父母的高大基因，往往容易生出高個子的子女，但是，往往物極必反。一旦身材高大的父母，生出的小孩沒那麼高大；身材矮小的父母，生出的孩子又沒那麼矮小。高爾頓稱這種現象就叫做「迴歸到平均值（regression toward the mean），簡稱迴歸均值」。

當年，高爾頓搜集了205對父母與928名成年子女的身高資料，並將分析結果，整理如表1所示（單位為吋，一吋為2.54公分）。

最左邊的欄位是父母平均身高的級距（64.5–72.5）；最右邊的欄位是兒女身高的中位數（65.8–72.2）。最上面中間的欄位是成年兒女的身高級距（62.2–73.2）；最下面的列是父母身高的中位數（66.3–70.0）。

接著我們來看一下表格中間的部分。以父母身高為69.5吋的級距為例，共有41對父母（右邊算起第二欄），兒女中位數為68.9吋（右邊算起第一欄），其中兒女183位（右邊算起第三欄），69.2吋的有33位（右邊算起第九欄）。

從表1中還可以發現，無論是父母或是兒女，身高皆呈常態分配。同時，資料從左下角到右上角呈對角線的分布狀況，代表父母與成年兒女的身高呈現正相關。

而且，對最左欄的父母平均身高的級距，與最右欄的兒女中位數進行比較，可以發現「迴歸均值（regression toward the mean）」的現象。當父母平均身高級距大於68.5吋時，兒女身高的中位數都小於父母的平均身高；當父母平均身高級距小於68.5吋時，兒女身高的中位數都大於父母的平均身高。

最後，高爾頓在文章中，用圖1來呈現迴歸均值的概念。我們可以發現，父母親身高級距的斜率較大，兒女身高級距的斜率較平緩，呼應上一段文字的內容。

而這樣的趨勢，後來被廣泛應用來解釋投資股票和像是「小時了了，大未必佳」等許多社會現象。

作者 : 蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）、羅凱揚（台科大企管系博士）