生日悖論(Birthday Paradox)

某一天,在一班約莫有30名學生的課堂上,老師突然提到:「我們來玩個小賭局。只要課堂的現場上,有任何兩位同學的生日是同一天的,就算老師贏;如果沒有任何人的生日是相同的,就算老師輸。如果老師輸了,就請全班喝飲料,如果老師贏,下次上課時,全班不准有人遲到。」假如您剛好是這一個班上的同學,您賭不賭?

直覺上,這個賭局似乎對全班同學很有利,看來飲料是喝定了。畢竟課堂上只有30位同學,但對應到生日,一年卻有365天,兩個人同一天生日應該很低。因為遇到同一天生日的機率為1/365,或0.002739。這機率也太小了吧,這也是在生活中,一旦您遇上到一個和您同一天生日的人,往往會讓您感慨,這也太巧了。

然而,事實上,這場違反直覺的賭局,老師贏的機率可是高達七成,這就是俗稱的「生日悖論(Birthday Paradox)」。

生日悖論是奧地利數學家理察·馮·麥澤斯(Richard von Mises),於1939年針對「資料儲存技術」所發表的論文。大致的內容以數學方式來說:若有一個均勻的映射函數將23個不同、屬於整數集的數,映射到〔1,365〕時,兩個數映射到同一位置的機率為0.5073(>0.5)。因此,可知利用散列儲存技術查尋儲存器時,難免會發生碰撞。

翻譯成白話文的意思為「如果一間屋子裡,有23個人以上,其中2人同一天生日的機率,會大於1/2」。

要算出背後的機率觀念上不難。以30位同學為例,先計算30位同學生日都不相同的機率,第一位同學的生日有365種可能;第二位同學的生日有364種可能(因為生日要不同),第三位同學的生日有363種可能,以此類推,第30位同學生日有336種可能。

所以,30位同學生日都不同的機率為,365 乘 364乘363乘…乘336 除上 365 的 30 次方,大約是30%。所以班上至少有兩位同學生日相同的機率為1–30%等於70%。

從公式來看,所有人的生日都不相同的機率為:

P= 365*364*…*(365-N+1)365N

根據這項公式,n等於23人時,兩人同一天生日的機率1-P(補集),已經為50.7%,意思是,教室內只要有超過23名同學,老師贏的機率已經超過一半;當n一旦來到30人時,1-P為70.6%;而n等於50人時,1-P為97.0%;當n等於60人時,1-P為99.4%。

圖1 兩人生日相同的機率曲線

其實,生日悖論往往在提醒我們,「直覺」通常是不可靠的,而且統計學很重要。因此在做決策時,要儘可能地蒐集資料,並對資料進行分析,以利理性決策的進行。還有,就是千萬不要跟老師對賭,因為輸的機率很高。下次上課您就得乖乖地提早來!

作者:蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)、羅凱揚(台科大企管系博士)

繪圖者:彭煖蘋

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