換？還是不換？ - 蒙迪．霍爾悖論（Monty Hall Problem）

三十多年前，美國一個長青的電視益智節目，主持人蒙迪‧霍爾（Monty Hall）在他的節目出了一道考題。在節目中，觀眾可以看到三扇關閉的門，而這三道門的背後，其中一扇有一輛汽車，另外兩扇背後則各有一隻山羊。如果您選中有汽車的那個門，就可以將汽車帶回家。表面上看，這是單純的三選一機率問題，可是節目播出後，卻成為統計上一個知名的爭議題目。

蒙迪‧霍爾當時是這樣跟來參加益智競賽的觀眾提問的。他先讓觀眾選定了其中某一扇門，這時門先刻意不打開，而是由蒙迪‧霍爾先打開另一扇，讓所有觀眾看清楚門的背後，確實是一隻愛吃草的羊。然後蒙迪‧霍爾問觀眾「換？還是不換？」。如果這時候是您，您到底換？還是不換？

這個猜謎的情節是美國電視益智節目「讓我們做個交易吧!（Let’s Make a Deal！）」，而主持人就是當時大名鼎鼎的蒙迪．霍爾（Monty Hall），而以上的三門選擇問題又被稱為「蒙迪．霍爾悖論（Monty Hall problem）」。

其實，蒙迪‧霍爾問您，要換，還是不要換？基本上是在問您要保持初衷，還是要改變主意。而無論在理性上或策略上，保持初衷，還是改變主意，哪個比較有利，還是兩種想法都無所謂，換到汽車的機率根本一模一樣。

這個問題後來之所以引發熱烈討論，主要是因為背後還牽涉到一位全世界最聰明的人（智商228），她的名字叫瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特（Marilyn vos Savant）。

瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特在1990年9月9日，於《Parade》雜誌的「請問瑪麗蓮（Ask Marilyn）」專欄中，讀者也請教了她同樣的問題，而瑪麗蓮回答讀者的答案，建議讀者要換。因為換了門之後，贏得汽車的機率，從原本的1/3，提升到了2/3。等於大大提高得到名車的勝算。結果，當時有上萬讀者寫信到雜誌社表達不同意的看法，其中包括許多數學家、統計學家以及博士級的學者，認為她的答案不合理且有違常理和直覺，她也被罵到臭頭。

在一般人的認知裡，三扇門中打開了一扇門後，剩下兩扇門，所以選到山羊與汽車的機率各是1/2，怎麼可能會是2/3？

但瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特認為，主持人知道三扇門後，哪扇門有山羊，而他會故意打開有山羊的門（也就是主持人不會打開背後是汽車的那扇門）。所以，接下來的情境可能會有三種，如圖1所示：

圖1 換？還是不換？背後的情境

圖1中顯示了三種情境：

1.參賽者第一次就挑中汽車，主持人打開其他任何一個門，參賽者決定換門後失去贏得汽車的機會。

2.參賽者挑了第一隻羊，主持人挑第二隻羊，換門後贏得汽車。

3.參賽者挑了第二隻羊，主持人挑第一隻羊，換門後贏得汽車。

請各位再看一下，上面三種情境中，有兩個情境會贏得汽車，因此，換門後贏得大獎的機率是2/3，而已不再是1/2。

看到這裡，如果您是參賽者，您換？還是不換？

作者 : 蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）、羅凱揚（台科大企管系博士）

繪圖 : 盧曉慧