Chapter 03 推論統計
一、醉漢走路
日常生活中，我們看到醉漢走路，都會用「步履蹣跚、東倒西歪」來形容，但是在物理與統計學界，醉漢走路（Drunkard’s Walk）則是一個專有名詞，指的是一種不規則的變動軌跡。在行動時，每一步的變化會以隨機的形式出現，就好像酒後亂步一樣。
與醉漢走路（Drunkard’s Walk）類似的名詞，還有隨機漫步（Random Walk）。加州理工學院曼羅·迪諾（Leonard Mlodinow）教授在《醉漢走路（The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules Our Lives）》一書中提到「直覺並不可靠」。他也提及，我們常常以為的偶然，其實都是必然。
迪諾教授在書中舉了許多故事，來說明我們很難對「隨機事件」進行判斷。在該書第九章中，迪諾教授提到「隨機」比「天機」更難以分辨。他以數學家斯賓塞·布朗（Spencer-Brown）的書為例，布朗在書中提到，一個由10的1,000,007次方個0與1所組成的隨機序列裡，出現連續1百萬個0所組成，而且又互不重疊的子序列，至少會有10次（而且10次還是低估）。
迪諾教授提到，想像一下，有一個可憐的科學家，在他的研究過程中，需要用到隨機亂數，結果剛好就碰到上述的隨機序列。他的軟體連續跑出10個0；然後是100個0；接著是1,000個0；之後是10,000個0…。如果他要求退貨，難道錯了嗎？（難道軟體公司也錯了嗎？）
迪諾教授進一步指出，Apple最初用在iPod的隨機自動選歌方法就碰到類似的問題，因為總是有顧客認為iPod的隨機自動選歌，感覺上並不隨機。於是蘋果公司的負責人史提夫‧賈伯斯（Steven Jobs）便下令旗下的工程師，讓自動選歌方式，不要那麼隨機，以便讓顧客感覺更隨機。如圖1所示。
圖1 不那麼隨機，以便讓顧客感覺更隨機
繪圖者：謝瑜倩
其實，由於「隨機」經常違反我們的「直覺」，所以在用直覺進行決策時，往往會產生很大的問題。
此外，迪諾教授還提到一個違反我們直覺的觀點。無論是事業是否成功？投資是否賺錢？電影是否賣座？書籍是否暢銷？都跟「命」有關（受到背後的「隨機」所掌控）。
在這樣的觀點下，作者期待人們在面對不確定時，能夠改變思維模式，認清使我們有所成就的隨機事件。進而在做決策時，避免產生粗劣的判斷與選擇的偏見。
二、黑天鵝與灰犀牛
最近這幾年，企業在談論「風險管理」議題時，大家都擔心兩種「動物」的突然來臨，一種是相當罕見的黑天鵝（Black swan），一種則是奔馳在大草原上，往往來勢洶洶的灰犀牛（Gray rhino）。
這兩種動物之可怕，一種在於世所罕見，一種則在於人們漠視，但這兩種動物威力都很驚人。紐約大學教授納西姆．尼可拉斯．塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb）於2007年出版《黑天鵝效應》（The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable）一書後，「黑天鵝」一詞開始流行起來。
首先，「黑天鵝」事件是指那些發生機率極低、不可預測且衝擊力大的事件。但當它真的發生之後，人們往往會對它產生「後見之明」，並且企圖對它的出現做出某種合理的解釋。2001年的「911事件」就是一個典型的範例，例如就有學者指稱911事件並非恐怖攻擊的開始，也不是恐怖攻擊的結束，但卻是恐怖攻擊的重要分水嶺。因為沒想到恐怖份子竟然會利用民航客機發動攻勢，更重要是，美國情報界與國安人員早就預測到，只是大家都不相信它真的會發生。
塔雷伯教授之所會使用「黑天鵝」一詞，主要是因為在16世紀的歐洲，當時的人們根深蒂固地認為所有的天鵝，天生都是白色的。可是後來在1697年，有人在澳洲發現了黑天鵝後，就一舉推翻了人們一直以來存在的信念（只要一隻黑天鵝，就能推翻數以萬計白天鵝所建構起的信念）。
至於「灰犀牛」一詞，則是由曾任紐約世界政策研究所（World Policy Institute）主席的米歇爾．渥克（Michele Wucker）所提出。她於2016年出版《灰犀牛：危機就在眼前，為何我們選擇視而不見？》（The Gray Rhino: How to Recognize and Act on the Obvious Dangers We Ignore）一書，從此「灰犀牛」一詞廣為流傳。
「灰犀牛」是指那些發生機率極高、有明顯地癥兆、突發性強、且衝擊力大，同時容易被忽視的威脅。舉例來說，2008年的美國次貸危機就是「灰犀牛」。因為早在2004年美國聯邦調查局FBI就提醒大家要慎防抵押詐欺；爾後2008年初，世界經濟論壇就指出，當時房地產市場就已潛藏著巨大的衰退風險。
會用「灰犀牛」來做比喻，是因為生長在非洲大草原裡的灰犀牛，身軀碩大、看似行動緩慢，但當灰犀牛狂奔起來，攻擊力爆棚，容易產生極具破壞性的影響。
無論是黑天鵝（Black swan）或是灰犀牛（Gray rhino），都是影響巨大，但黑天鵝發生的機率極低，灰犀牛發生的機率很高。重要的是，它們都不容易看見，或是容易讓人視而不見，如圖1所示。
圖1 黑天鵝與灰犀牛
繪圖者：彭煖蘋
面對黑天鵝與灰犀牛，企業要做好「風險識別」，一個發生機率極低，易受忽略；灰犀牛發生機率很高，易遭忽視。企業當定期檢視、且發揮一定的想像力，在識別完風險之後，即可開始對風險進行評估與回應（如風險規避、風險降低、風險移轉、風險承擔等），並做好「風險控制」。
三、考績最差的5%註定定該淘汰?
在高度競爭的商業世界裡，每年都有許許多多的企業，會遭受外部環境威脅而自然淘汰。企業則為了保持自己的競爭力，也會刻意淘汰不具競爭力的員工。
在人力資源管理的績效考核中，就有一項奉行汰弱留強的「強迫淘汰制」，大意是每年都要評比出績效最差的5%左右的員工，設法讓他們離職或資遣，再引進新血輪替。
這個制度乍看起來沒有問題，畢竟「汰弱留強」是管理上的重要做法。而在這個淘汰制裡，一般都會假設員工績效屬於常態分配（Normal Distribution），左右兩端代表最優秀與最差的人才，但為數不多，能力介於中間的人數則比例最高。
但問題是，如果員工績效並不符合常態分配，連一開始的「假設」都錯了，那後續的做法是否就有問題。
美國印第安那大學人力資源教授恩斯特．奧伯利（Ernest O’Boyle JR.）與華盛頓大學商學院赫爾曼．阿吉尼斯（Herman Aguinis），就在《人事心理學（Personnel Psychology）》期刊上，共同發表了一篇文章，〈最優與最劣：重新審視個人績效的正常水平（The best and the rest: Revisiting the norm of normality of individual performance）〉。
在該篇文章裡，奧伯利與阿吉尼斯教授重新審視了人力資源管理中，眾多企業一個長期存在的假設－「個別員工的績效表現遵循常態分配」。
他們為此進行了五項研究，涉及的範疇包括：研究人員、演藝人員、政治人物以及業餘和職業運動員共633,263名。結果在各個行業、職位類型、績效指標類型、和時間範圍內，結果都非常一致，呈現出「個人績效不是常態分配（Normal Distribution），而是柏拉圖分配（Paretian Distribution）分配」，如圖1所示。
圖1 常態分配與柏拉圖分配
繪圖者：彭煖蘋
柏拉圖分配可以簡單地歸納成一種表達方式，企業中前20%員工，創造出企業80%的績效，至於其它80%的員工帶來20%的結果。只是如果要用這樣的研究來淘汰員工，恐怕會嚇死一堆人。
值得注意的是，這個研究結果顛覆了我們的刻板印象，它也提醒我們，很多時候，錯誤的假設將導致錯誤的管理決策。而「最優與最劣」的研究讓我們重新思考，人力資源管理中選、訓、用、留的影響，畢竟這些議題與個人績效之間有很大的關係。
資料來源：O’Boyle, E. H., & Aguinis, H. （2012）. The best and the rest: Revisiting the norm of normality of individual performance. Personnel Psychology, 65（1）, 79–119.
四、生日悖論
某一天，在一班約莫有30名學生的課堂上，老師突然提到：「我們來玩個小賭局。只要課堂的現場上，有任何兩位同學的生日是同一天的，就算老師贏；如果沒有任何人的生日是相同的，就算老師輸。如果老師輸了，就請全班喝飲料，如果老師贏，下次上課時，全班不准有人遲到。」假如您剛好是這一個班上的同學，您賭不賭？
直覺上，這個賭局似乎對全班同學很有利，看來飲料是喝定了。畢竟課堂上只有30位同學，但對應到生日，一年卻有365天，兩個人同一天生日應該很低。因為遇到同一天生日的機率為1/365，或0.002739。這機率也太小了吧，這也是在生活中，一旦您遇上到一個和您同一天生日的人，往往會讓您感慨，這也太巧了。
然而，事實上，這場違反直覺的賭局，老師贏的機率可是高達七成，這就是俗稱的「生日悖論（Birthday Paradox）」。
生日悖論是奧地利數學家理察·馮·麥澤斯（Richard von Mises），於1939年針對「資料儲存技術」所發表的論文。大致的內容以數學方式來說：若有一個均勻的映射函數將23個不同、屬於整數集的數，映射到〔1，365〕時，兩個數映射到同一位置的機率為0.5073（＞0.5）。因此，可知利用散列儲存技術查尋儲存器時，難免會發生碰撞。
翻譯成白話文的意思為「如果一間屋子裡，有23個人以上，其中2人同一天生日的機率，會大於1/2」。
要算出背後的機率觀念上不難。以30位同學為例，先計算30位同學生日都不相同的機率，第一位同學的生日有365種可能；第二位同學的生日有364種可能（因為生日要不同），第三位同學的生日有363種可能，以此類推，第30位同學生日有336種可能。
所以，30位同學生日都不同的機率為，365 乘 364乘363乘…乘336 除上 365 的 30 次方，大約是30%。所以班上至少有兩位同學生日相同的機率為1–30%等於70%。
從公式來看，所有人的生日都不相同的機率為：
P= 365*364*…*（365-N+1）365N
根據這項公式，n等於23人時，兩人同一天生日的機率1-P（補集），已經為50.7%，意思是，教室內只要有超過23名同學，老師贏的機率已經超過一半；當n一旦來到30人時，1-P為70.6%；而n等於50人時，1-P為97.0%；當n等於60人時，1-P為99.4%。
圖1 兩人生日相同的機率曲線
繪圖者：彭煖蘋
其實，生日悖論往往在提醒我們，「直覺」通常是不可靠的，而且統計學很重要。因此在做決策時，要儘可能地蒐集資料，並對資料進行分析，以利理性決策的進行。還有，就是千萬不要跟老師對賭，因為輸的機率很高。下次上課您就得乖乖地提早來！
五、小時了了，大未必要佳-迴歸均值的有趣現象
先問一個問題，您會不會好奇，在您離開校園一、二十年之後，當年那些功課很好的同學，他們現在在哪裡？他們的社會成就有比您優秀嗎？而經過多方探索，往往您可能會發現，當年那些功課不得了的同學，長大後有些也實在不怎麼樣，出社會就是表現平平，就是所謂的「小時了了，大未必佳」。其實，看完今天的內容，您就會了解這種情況就是統計學上所稱的「迴歸均值」的特殊現象。
1886年，英國遺傳學家弗朗西斯·高爾頓爵士（Sir Francis Galton）在《人類學學院學報（Journal of the Anthropological Institute）》期刊上，發表了一項有趣的研究成果，名為〈遺傳身材回歸平凡（Regression towards mediocrity in hereditary stature）〉。
高爾頓的研究結論是這樣子來的，父母親與他們的子女之間的身高，往往具有相關性，個子高大的父母，通常會生下高個子的小孩，因為身高通常會遺傳。以中國的球星姚明為例，他在官方的紀錄上，身高是226公分，從普通人眼中來看，的確就是個不折不扣的「巨人」。而他的太太葉莉，同樣是個籃球運動員，身高190公分，跟一般中國女性相比，也高人一等，而姚明的女兒姚沁蕾，據說九歲時，就已接近170公分。（原文網址：https://kknews.cc/sports/34emer8.html）。
當然，父母的高大基因，往往容易生出高個子的子女，但是，往往物極必反。一旦身材高大的父母，生出的小孩沒那麼高大；身材矮小的父母，生出的孩子又沒那麼矮小。高爾頓稱這種現象就叫做「迴歸到平均值（regression toward the mean），簡稱迴歸均值」。
當年，高爾頓搜集了205對父母與928名成年子女的身高資料，並將分析結果，整理如表1所示（單位為吋，一吋為2.54公分）。
表1迴歸均值表
資料來源：Francis Galton, Regression towards mediocrity in hereditary stature, Journal of the Anthropological Institute, 15, pp 246–263 ,1886.
最左邊的欄位是父母平均身高的級距（64.5–72.5）；最右邊的欄位是兒女身高的中位數（65.8–72.2）。最上面中間的欄位是成年兒女的身高級距（62.2–73.2）；最下面的列是父母身高的中位數（66.3–70.0）。
接著我們來看一下表格中間的部分。以父母身高為69.5吋的級距為例，共有41對父母（右邊算起第二欄），兒女中位數為68.9吋（右邊算起第一欄），其中兒女183位（右邊算起第三欄），69.2吋的有33位（右邊算起第九欄）。
從表1中還可以發現，無論是父母或是兒女，身高皆呈常態分配。同時，資料從左下角到右上角呈對角線的分布狀況，代表父母與成年兒女的身高呈現正相關。
而且，對最左欄的父母平均身高的級距，與最右欄的兒女中位數進行比較，可以發現「迴歸均值（regression toward the mean）」的現象。當父母平均身高級距大於68.5吋時，兒女身高的中位數都小於父母的平均身高；當父母平均身高級距小於68.5吋時，兒女身高的中位數都大於父母的平均身高。
最後，高爾頓在文章中，用圖1來呈現迴歸均值的概念。我們可以發現，父母親身高級距的斜率較大，兒女身高級距的斜率較平緩，呼應上一段文字的內容。
圖1迴歸均值圖
資料來源：Francis Galton, Regression towards mediocrity in hereditary stature, Journal of the Anthropological Institute, 15, pp 246–263 ,1886.
而這樣的趨勢，後來被廣泛應用來解釋投資股票和像是「小時了了，大未必佳」等許多社會現象。
作者：鍾皓軒，羅凱陽，蘇宇暉
出版社：旗標科技
出版日期：2023/02/10
語言：繁體中文
定價：500元
