林德利悖論（Lindley's paradox）

　　統計工具是用來協助我們製定決策的利器之一，但是如果有兩種統計方式對同一組資料進行假設檢定之後，卻會得到完全相反的結果，豈不是令人昏倒？不要笑，著名的「林德利悖論」內容就是這樣。

　　「林德利（Lindley）悖論」最早是由學者哈羅德‧傑佛里斯（Harold Jefferys）於1939年所提出，後來被「貝葉斯推論（Bayesian Methods）」的傳教士丹尼斯‧林德利（Dennis Lindley）在1957年的一篇論文中，稱為「悖論」而得名。

　　所謂「林德利悖論」是指，有時候，利用「頻率推論」與「貝葉斯推論」對同一個資料集進行假設檢定，最終卻產生相反的結果。它也在統計圈內素負惡名的奇怪現象，即資料愈大，用來檢定出「純屬僥倖」顯著性測試的效果就越差。

　　維基百科上提到一個故事。某年在某一個城市分別有49,581名男孩和48,870名女孩出生。男孩佔全體嬰兒的佔例為49,581／98,451 ≈ 0.5036。現在要檢驗男嬰佔比是否為0.5。從統計學者的觀點，這個問題有兩種解法：

一、頻率推論

　　頻率推論所用的方法是計算 p 值。H0：男孩佔比等於0.5；H1：男孩佔比不等於0.5。因為出生人數很多，可以對男孩出生的比例假設為常態分配，再計算P值等於0.0235，小於顯著性水準α（0.05）。因此，根據頻率推論所得到的結果為拒絕H0，認為男孩佔比不等於0.5。

二、貝葉斯推論

　　貝葉斯推論是先分配男孩佔比的先驗機率為0.5，根據貝葉斯公式算得男孩佔比是0.5，再透過貝氏定理計算出後驗機率是0.95。此結果支持H0。在同樣的資料下，頻率推論和貝葉斯推論竟然會得到相互違背的結論，兩種方法看似衝突，而這就是「林德利悖論」。

　　事實上，造成頻率推論與貝葉斯推論之所以會有不同結果，並不是兩種方法之間的分歧，而是應該使用它們來回答不同的問題。在應用統計工具時，一開始就先應釐清所欲解決的問題為何，並選擇適合的分析方法，而非拿到資料之後，才思考該用哪種方法進行分析。

　　至於頻率推論與貝葉斯推論的適用情境，請參考我們之前的文章〈頻率推論vs.貝葉斯推論〉中，頻率推論與貝葉斯推論之比較圖，如圖1所示。