從統計學看倖存者偏差：英國皇家空軍的歷史轉折

無論您是否曾經看過第二次世界大戰的空戰電影「英烈的歲月（Memphis Belle）」，但大概可以想像一下，一群年輕小夥子在二次世界大戰期間，駕著B-17轟炸機，從英國飛越英吉利海峽，深入歐洲內陸去轟炸德國的場面。其中每一次去執行轟炸任務，就是一次又一次年輕人犧牲生命、為國捐軀的畫面。而今天我們要講的不是轟炸過程的英雄故事，而是幕後的真實情節。

二次世界大戰期間，英國皇家空軍（Royal Air Force）為了抵抗德國戰鬥機與高射炮的攻擊，必須在飛機上裝上比較厚實的鋼板，以減少飛機被擊落的風險。然而，一旦加上厚鋼板，就會帶來幾項問題，一是飛機的酬載馬上變大，必須添加許多燃油才足以完成航程；再則，加了鋼板的重量，也會減少載彈的數量。又因為所加的厚鋼板無法覆蓋所有機身，因此英國皇家空軍便請美國哥倫比亞大學統計學教授亞伯拉罕‧沃爾德（Abraham Wald）進行分析與評估，應該將厚鋼板裝置在飛機上的哪個地方。

沃爾德教授仔細調查了那些經過轟炸任務後歷劫歸來的飛機，以及機身上面彈孔的位置。大部分的彈孔都位於機翼與機尾，反而在駕駛艙、油箱、發動機的彈孔沒有很多，如圖1所示。

這樣詳實的調查報告，獲得了英國皇家空軍的認同。但在研究成果討論會上，雙方卻形成激烈的辯論。因為英國皇家空軍認為，厚鋼板應該裝置在機翼與機尾上，畢竟這兩個地方面積最大、吸引槍彈來攻的機率也最多。

不過，沃爾德教授卻持完全相反的看法，他認為，轟炸機駕駛座艙與發動機位置的鋼板反而最應該強化，因為那裡的彈孔最少。沃爾德的推論聽起來嚴重違反人類的直覺，為什麼彈孔最少的地方，反而最應該加裝鋼板。那是因為這些部位被擊中的飛機，大部分已經無法返航，早就墜毀在歐洲內陸或海上。

最後，英國皇家空軍同意沃爾德教授的看法，強化了沒有彈孔的地方的鋼板，結果安全返航的飛機大幅增加。而英國皇家空軍同步也動用敵後人員，調查了被擊落在德國的部分機身的殘骸，發現中彈的位置，確實如沃爾德教授所料，大都集中在駕駛艙與發動機的部位。

以上的故事，可以呼應統計學裡「倖存者偏差（Survivorship Bias）」的概念。

亦即資料來源如果僅僅來自於倖存者時（例如上述故事中安全返航的轟炸機），這些資料可能會與真實的狀況有所不同，進而產生偏差。而這種偏差，也將導致推論出各種可能的錯誤結論。

作者：羅凱揚（台科大企管系博士）、蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）
繪圖者：張琬旖