賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）

1913年8月18日，摩納哥的蒙地卡羅（Monte Carlo）賭場內，發生了一件離奇事情。紅黑相間的輪盤賭桌上，竟然已連續開出了十多次的黑，此時，整個賭場裡的賭徒紛紛圍了上來。大家都認為既然已經開了十幾次的黑，接下來開紅的機率一定大大增加，所以紛紛掏出腰包下注。結果，還是開黑，於是大家又更努力地繼續下注押紅，而且越押越多。

就這樣，連續開黑的次數已經到了20次，此時賭客們更是殺紅了眼。結果讓人不可置信的是，第21次還是黑，第22次還是黑，這時有人已將全身家當全部押紅。結果到了第23次還是黑，這已讓許多賭客血本無歸。然而連續開黑似乎已經成為詛咒，竟然還沒有結束。到了第24次、25次、甚至第26次都還是黑，眾人已經絕望。最終到了第27次，輪盤中的滾球才落到了紅色格子裡，如圖1所示。

這起事件後來成為統計學上的經典案例，被稱為「蒙地卡羅事件」，並用來解釋「賭徒謬誤（The Gambler’s Fallacy）」，或稱「蒙地卡羅謬誤（The Monte Carlo Fallacy）」。

事實上，該事件中的賭徒們，錯把「每次」開黑或開紅的機率，誤認為是「連續」開黑或開紅的機率。由於賭場輪盤開黑或開紅的機率並非1/2[1]，我們改以擲硬幣為例來進行說明。硬幣的兩面分別是「人頭」或「數字」，擲一次硬幣，出現「人頭」的機率是1/2，連續出現兩次人頭的機率是1/2*1/2=1/4。以此類推，連續出現10次「人頭」的機率是1/1024，連續出現26次的「人頭」的機率是1/67,108,864。當天蒙地卡羅賭場裡的賭徒們，就是誤以為接下來開紅的機率會越來越大，所以紛紛下注押紅。

賭徒謬誤提醒我們，由於每次擲硬幣之間都是獨立事件（前後兩次不相互干擾），每次出現「人頭」或「數字」的機率都是1/2。不會因為連續出現「人頭」或「數字」的次數增加，下次出現「人頭」或「數字」的機率就會改變。

最後，大部分的人都可能聽過一種必勝的投注策略。那就是第一次下注1枚籌碼；如果輸了，第二次就下注2枚籌碼；如果不幸又輸了，第三次就下注4枚籌碼，以此類推。只要之後贏了一次，就能將之前輸的全部贏回，而且還能賺1枚籌碼。這種加倍賭注的策略，稱為馬丁格爾（Martingale）策略。

只是，這種策略真的要百分之百必勝，首先就是口袋要夠深，否則如果遇到類似上述蒙地卡羅事件的情境，沒錢下注也無法翻盤。而且，許多賭場也會設置投注上限，來防範這種加倍賭注的策略。所以，只要賭客們一直玩下去，結局永遠是對莊家有利。

[1]這裡不以輪盤機率為例，是因為出現紅或黑的機率不是各1/2。歐式輪盤有37個數字，從1到36號，以及0號；美式輪盤則有38個數字，從1到36號，還有0號與00號；0及00號在輪上是綠色的。所以出現紅黑的機率，歐式輪盤為0.486；美式輪盤0.474。

作者：蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）、羅凱揚（台科大企管系博士）

繪圖者：謝瑜倩