頻率推論 vs. 貝葉斯推論

「敘述性統計」和「推論性統計」是現代統計學的兩大主軸，而推論性統計更是統計學中的重中之重，因為要從小樣本推論到大母體的過程，都仰賴推論性統計。值得一提的是，推論統計裡，還有頻率推論（Frequentist inference）和貝葉斯推論（Bayesian inference）兩大派別，在目前傳統統計邁向資料科學與大數據之際，重點也從「頻率推論」移往「貝葉斯推論」發展。

我們先來看一下，推論統計學裡的靈魂人物，再談重點何在？在「頻率推論」與「貝葉斯推論」兩大派別中，「頻率推論」的代表人物是羅納德·費雪（Ronald Fisher，1890~1962）（圖1）；「貝葉斯推論」的代表人物是托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes，1702~1761）（圖2）。

所謂「頻率推論」，又稱「虛無假設顯著性檢定（null hypothesis significance testing，NHST）」。20世紀時，頻率推論佔了推論統計的主導地位，在許多研究領域裡，經常會看到像是「p值」和「信賴區間」等指標，然而到了資料科學與大數據的時代，貝葉斯推論在機器學習上的應用，已經有了巨大的復興。以下簡單說明兩者的差異，如圖3所示。

自從費雪（Ronald Fisher, 1890–1962）在1925年出版的《研究工作者的統計方法（Statistical Methods for Research Workers）》一書中建議，將p＜0.05當成一個檢驗標準，於是乎從此就誕生了一個觀念，只要p＜0.05，就代表有統計顯著性（statistical significance）。事實上，p值與統計顯著性有很大的局限，人們對於p值也產生很大的誤解。這些都是頻率推論遭人質疑的地方。

不過，回過頭來看，過去因為電腦技術和網路技術不足，主張和認同「頻率推論」的人認為，只要抽樣方法正確、樣本足夠，加上這個方法已經使用了100多年，它也算得上確實有效。

至於所謂的「貝葉斯推論（Bayesian inference）」，它的理論基礎是「貝氏定理」開始，意即在已知一些條件下，可以計算出某特定事件的發生機率，由於它背後的邏輯明確，加上有了先驗機率，所有的計算有明確的演繹邏輯推演。但批評的人認為，先驗機率相當主觀，而且不同的人會產生不同的先驗，因此可能得出不同的後驗機率與結論。

值得一提的是，各位可能覺得很奇怪，表1中，可以看到頻率推論必須依賴大量樣本。以街頭訪查為例，可接受的樣本數要達數百份，而民意調查的公認標準則要1067份（95％信賴水準和3%的誤差區間）。早年因為施測不易，這樣的數量可謂是「大量樣本」。至於貝葉斯推論則需少量樣本即可，但現在大數據分析不都需要大量樣本嗎？

事實上，在進行貝葉斯推論時，確實只需要少量樣本即可執行，但貝葉斯推論一樣適用於大樣本的情境（重點在於背後需要大量的計算）。而且，真正的多寡，其實都是相對比較而來。畢竟做民意調查分析時，一千份問卷已經算是大樣本，但在進行大數據分析時，一千筆資料只能算是很小的數字。

那到底該採用頻率推論或是貝葉斯推論呢？MIT麻省理工學院數學系傑里米·奧爾洛夫（Jeremy Orloff）教授指出一個方向：頂尖的統計學家之間所形成的共識是，解決複雜問題最有效的方法，通常是在兩派學者共同合作後，擷取其中的最佳見解（The consensus forming among top statisticians is that the most effective approaches to complex problems often draw on the best insights from both schools working in concert.）。

作者：羅凱揚（台科大企管系博士）、蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）

繪圖：彭煖蘋