捷運路網圖與拓撲學（Topology）的故事

現在在台北，許多人每天都搭乘捷運上下班，往來台北市和新北市，捷運已成為大台北都會區最便捷的交通工具。偶爾您可能也會搭著捷運到某一站去和朋友見面吃飯，這時候我們往往會用上Google Map，請「谷歌大神」指點一下迷津，看看捷運經過哪些站，並預估一下多久會抵達目的地。

舉個例子來說，我們要從台北火車站到淡水時， 利用Google Map搜尋捷運路線時，大概會搜尋到如圖1的圖形。

接著到了捷運上，我們也可以在台北捷運公司的網站上，看到類似圖2的捷運路網圖。但您有沒有想過，如果拿兩張圖來做比較，圖2其實不是一張合格的地圖（畢竟跟真實地圖差異太大），但我們卻也能依賴它，讓它帶我們到達目的地。

 

其實，對於大多數人來說，圖2比圖1簡單易讀，而圖2的價值，就在於它的「不精確」。整張圖只有交會位置與順序正確，其他部份不但距離錯誤（站與站之間的距離長度不會差不多）、方向錯誤（例如板南線往頂埔方向不是往南，而是往西南）、連路線也非直線（文湖線從劍南路到葫洲就不是一直線）。

然而，這張圖之所以有價值，即在於它只呈現出讀者想要知道的資訊：例如，應該在哪裡上車？在哪裡下車？在哪裡改換路線？讀者不需要知道的其它資訊，這張圖盡可能忽略。

好了，回到我們今天要講的主題，上述捷運路網圖的故事，其實是一個被稱為「拓撲學」的概念。

拓撲學（topology）的英文，是希臘字topos（位置）與logos（理、道）的組合，它是數學的一個分支。主要在研究空間內連續變化（如拉伸或彎曲，並不能黏合或加以撕裂）下，維持不變的性質。

在二維拓撲學裡（地圖是二維），我們可以將拓撲學想像成是一種「橡皮筋幾何學」。將橡皮筋做拉伸，只會影響路線圖的長短與方向，不會影響路線圖上每個車站的順序。所以，當拉伸路線圖上的線條時，並不會改變整體路線圖的架構。除非切斷其中的點或線，否則架構不變。而這樣的特性，經常被拿來當成科幻電影的題材。

如果各位看過「復仇者聯盟：終局之戰」這部英雄電影，劇情中，鋼鐵人東尼‧史塔克原本不願意協助未消失的英雄們，去將全宇宙消失的另一半人口找回來。後來他在家利用拓撲學中的重要物件「莫比烏斯帶（Möbiusband）」，藉此驗證出「時空旅行」的可行性。因此開始執行「時空攔劫（Time Heist）」，用量子隧道分別到不同的時間和地點，找回六顆無限寶石，讓英雄故事才得以持續下去…（好像有點扯遠了）。

值得一提的是，前述的捷運路線圖（甚至是全世界的車站路網圖），其背後的原創是來自於1931年，英國一位名為亨利‧貝克（Henry Beck）的地鐵製圖員。而這種不畫比例尺，並藉由不同顏色標示路線與站名，兩點之間的相對位置及距離，也可能與實際狀況有些差異的地圖，被稱為拓撲地圖（Topological map）。

作者 : 羅凱揚（台科大企管系博士）、蘇宇暉（台科大管研所博士候選人)