柯尼斯堡七橋問題(Seven Bridges of Königsberg)
 - 尤拉公式的起源🔥

您小時候有沒有玩過益智遊戲中的「一筆畫」呢?就是一個圖型內有數個節點,然後有數條線將它串連起來。遊戲的方法很簡單,就是可以從任何一個點開始走起,必須把每個點都走過一遍,而每個點都不能重複走過,這就是一筆畫的玩法。事實上,這個俗稱一筆畫的遊戲,其實就是來自拓撲學中的「七橋問題」

在拓撲學的歷史上,第一個的難題源自於東普魯士,普列戈利亞河畔的柯尼斯堡(今日俄羅斯的加里寧格勒)。當時的市區跨越普列戈利亞河兩岸,河的中心有兩座小島,小島與兩岸之間有七座橋相連。

由於當地的居民在散步時,常常會經過許多橋,因此便引發了一些人的好奇心,他們想了解是否有可能在每座橋只走一次的前提下,將所有橋都走遍,這就是著名的柯尼斯堡「七橋問題」。

這個問題,後來被瑞士數學家李昂哈德·尤拉(Leonhard Euler,1707~1783)(圖1 )於1735年所解決。

圖1. 李昂哈德·尤拉(Leonhard Euler,1707~1783)

尤拉發現,島與橋的實際位置及距離,並不是解決問題的重點。重要的是這些橋的連結方式。因此,七橋問題可以從實體的地圖,畫成如圖2的網路圖(上下兩個點是兩岸,中間左右兩個點是兩座島,七條線是七座橋)。還記得之前提到的捷運路網圖,以及橡皮筋幾何學,這樣看起來,這正好是個拓撲學問題。

圖2. 七橋問題的網路圖

尤拉指出,網路圖中的節點,如果有奇數條線向外延伸出去,可以稱為「奇數點」;如果有偶數條線,就稱為「偶數點」。而如果這個圖形必須符合兩個條件,這個問題才有解。

首先,圖形的每個點都必須是偶數點;其次,如果圖形中有奇數點,奇數點最多也只能有兩個,因為,為了要一次走完,一定要在奇數點開始或結束,所以最多只能有兩個奇數點。至於奇數點的線條數則不一定要一樣,一個三的奇數點,可以搭配五的奇數點。

由於柯尼斯堡七橋問題的網路中,有四個奇數點,所以這個問題「無解」。如果您有興趣,不妨拿出來筆來自己畫一畫,甚至可以出題目自己來試試。

後來,尤拉更提出了「尤拉公式」來證明在平面上任何的網路,下面公式成立:

V-E+F=1

其中,
V是頂點(七橋問題中有4個點,V=4)
E是連線(或稱邊,七橋問題中有7個邊,E=7)
F是面(七橋問題中有4個面,F=4 )

有趣的是,以上所說「網路圖」的呈現與計算方式,又另外開啟了數學裡「圖論(Graph theory)」的先河,尤拉也成了圖論的開山始祖。顧名思義,圖是圖論的主要研究對象。而圖是由許多個給定的頂點及連接兩頂點的邊所構成的圖形,圖形常用來描述某些事物之間的特定關係;頂點則用於代表事物;連接兩頂點的線或邊,則用於表示兩個事物間具有的關係,而圖論往後又構成網路爬蟲(搜尋)的基礎,我們會再找機會與大家說明。

作者 : 蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)、羅凱揚(台科大企管系博士)

更多商普好文推薦

AI 人力資源管理

AI 人力資源管理 與一位人資主管聊天,她知道我對AI行銷學(人工智慧行銷學)有所研究,於是便聊到了AI在人力資源管理上的應用。 簡單來說,

閱讀更多 »
回到頂端