下一次會更好？拉普拉斯接續法則來說明

日常生活中，我們經常面臨「統計」和「小數據」等的問題。例如這一班到高雄的自強號會晚點的機率有多少？個人所支持的兄弟象棒球隊，在這次季末賽中可能會贏嗎？其實，提出「貝氏定理」的貝葉斯牧師，對於類似問題的思考，都給了一些解答。

當時，貝葉斯以購買新推出的彩券為例，來推敲類似上述的問題。假設我們不知道新彩券的獲獎率，所以先到彩券行隨機買了10張，結果有5張中獎，那麼推估這一批彩券中獎機率，大概就是0.5。

不過，假設我們只買了一張彩券而且中了獎，那中獎的機率就是1？

聽起來這似乎不太合理，發行彩券的券商會那麼笨嗎？會讓你買的每一張彩券都中獎？不過，如果機率不是1，那麼合理的機率又應該是多少呢？

後來，法國著名的天文學家與數學家拉普拉斯（Pierre Simon, Marquis de Laplace, 1749–1827）又提供了一種簡單的方法，來協助我們估算出背後的機率。

拉普拉斯1774年發表了一篇名為〈論事件成因的機率（Treatise on the Probability of the Causes of Events）〉的論文，解決上述的問題。

假設我們重複一個將導致成功或失敗的實驗，獨立進行 n 次，獲得 s 次成功和 n-s 次失敗，那麼下一次成功的機率是多少？

拉普拉斯提出一個公式，來預測下一次成功的機率。這個公式為：

P（next outcome is success）=（s+1）/（n+2）

這項公式稱為「拉普拉斯接續法則（Laplace’s Rule of Succession）」。其中，n為過去發生試驗的次數（例如，進行了10次試驗），s為成功的次數（例如，5次成功），下次成功的機率就是（s+1）/（n+2）。

舉例來說，假設買了10張彩券（n=10），其中有5張中獎（s=5），下一次中獎的機率就是6/12，為0.5，至少中獎機率沒有往下掉。假如過去火車有10班（n=10）準點，有2班晚點（s=2），下一班火車晚點的機率則是3/12=0.25，也就是下一班準點率還稍微提高了。

拉普拉斯接續法則雖然簡單，並也算是合理，但還是招來了一些批評。在維基百科裡的例子中，根據拉普拉斯所提供的公式，明天太陽升起的機率為：

P（sun will rise tomorrow）=（d+1）/（d+2）

其中 d 是過去太陽升起的次數。有些人認為這樣的計算相當荒謬，但拉普拉斯認為，由於太陽升起的數字太過龐大（以45億年來計算，太陽升起的次數是1.64兆次），因此，可以推斷明天太陽依舊還是會升起，只要不下雨，你明天一早還是可以在東方看到大太陽出現。

拉普拉斯接續法則提供一種簡單的方法，讓我們在面對小數據時，估算下次成功的機率。

作者：蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）、羅凱揚（台科大企管系博士）

繪圖者：謝瑜倩