如何公平切蛋糕

您可能聽過以下的故事:媽媽買了一個小蛋糕,準備分給兄弟兩人吃,但又怕兄弟二人覺得蛋糕切的不公平,造成「好心辦壞事」,因此,聰明的媽媽透過「賽局理論」,由兄弟兩人自己來切蛋糕與選蛋糕。哥哥負責切,弟弟則先選,這樣兄弟兩人都覺得公平。

不過,如果要吃蛋糕的有兄妹三人呢?這時又該如何公平地分配蛋糕呢?

其實,答案還是可以透過「你切我選」的方式進行。首先,哥哥切完,弟弟先選,以確保切開的兩份蛋糕是「公平」的。接下來哥哥與弟弟都將自己的蛋糕,再切成三塊,然後請妹妹從中各選一塊。這樣兄妹三人每人都得到六塊蛋糕中的兩塊。

以此類推,如果兄妹有四人呢?前三個人分完後,各自再將蛋糕切成共十二塊,然後由第四個人從其他三人的蛋糕裡,各選出一塊。這樣每個人就有十二塊蛋糕中的三塊,只不過這樣一來,每個人拿到的蛋糕就切的很碎、很小塊了。

另外,如果蛋糕是正方形的,是否還有其他公平的切蛋糕方法。《為什麼公車一次來三班》[1]一書中,提到一種透過周長來切蛋糕的方式。

假設正方形蛋糕每邊的邊長為25公分,周長為100公分,而我們想要將蛋糕公平切成五份。這時先計算出每份應該切的邊長長度,亦即將周長100公分除上5份等於20公分。然後從蛋糕的正中間開始往某一角切(如圖1中的a點),接著沿著邊長每20公分切下(如圖1中的ab距離、bd距離、df距離…等)。這樣所切出來的蛋糕,每塊大小就一樣。

圖1 如何公平切正方形蛋糕1
資料來源:Rob Eastaway, Jeremy Wyndham,《為什麼公車一次來三班?》(Why Do Buses Come in Threes?),臉譜,2021/07/03。

這背後的觀念其實並不難。我們將正方形的周長展開成一直線,並將原本正方形除a外的另外三個點c、e、g加入(如圖2所示)。

我們可以從圖2中發現,ab距離、bd距離相同。而bd距離等於bc距離加上cd距離。配合三角形面積的公式(底*高/2),ab距離所形成的三角形面積,與bc距離的三角形面積,加上cd距離的三角形面積相同。以此類推,df距離、fh距離、ha距離也與ab距離相同,因此所切出來的每塊蛋糕大小都會相同。

圖2 如何公平切正方形蛋糕2
資料來源:Rob Eastaway, Jeremy Wyndham,《為什麼公車一次來三班?》(Why Do Buses Come in Threes?),臉譜,2021/07/03。

最後,公平切蛋糕的問題,背後還有更複雜的內容,已故的中央研究院院士劉炯朗,在《你沒聽過的邏輯課》[2]這本書中,談到「公平」的種類還包括「滿足(satisfaction) 的公平」,亦稱「比例(proportion)的公平」;「沒有妒忌(envy-free) 的公平」;「安心的公平」;「一致的公平」等,並說明在不同的公平下,如何切蛋糕。有興趣的讀者不妨參考一下。

作者:羅凱揚(台科大企管系博士)、蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)
繪圖者:彭煖蘋

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