如何公平切蛋糕

您可能聽過以下的故事：媽媽買了一個小蛋糕，準備分給兄弟兩人吃，但又怕兄弟二人覺得蛋糕切的不公平，造成「好心辦壞事」，因此，聰明的媽媽透過「賽局理論」，由兄弟兩人自己來切蛋糕與選蛋糕。哥哥負責切，弟弟則先選，這樣兄弟兩人都覺得公平。

不過，如果要吃蛋糕的有兄妹三人呢？這時又該如何公平地分配蛋糕呢？

其實，答案還是可以透過「你切我選」的方式進行。首先，哥哥切完，弟弟先選，以確保切開的兩份蛋糕是「公平」的。接下來哥哥與弟弟都將自己的蛋糕，再切成三塊，然後請妹妹從中各選一塊。這樣兄妹三人每人都得到六塊蛋糕中的兩塊。

以此類推，如果兄妹有四人呢？前三個人分完後，各自再將蛋糕切成共十二塊，然後由第四個人從其他三人的蛋糕裡，各選出一塊。這樣每個人就有十二塊蛋糕中的三塊，只不過這樣一來，每個人拿到的蛋糕就切的很碎、很小塊了。

另外，如果蛋糕是正方形的，是否還有其他公平的切蛋糕方法。《為什麼公車一次來三班》[1]一書中，提到一種透過周長來切蛋糕的方式。

假設正方形蛋糕每邊的邊長為25公分，周長為100公分，而我們想要將蛋糕公平切成五份。這時先計算出每份應該切的邊長長度，亦即將周長100公分除上5份等於20公分。然後從蛋糕的正中間開始往某一角切(如圖1中的a點)，接著沿著邊長每20公分切下(如圖1中的ab距離、bd距離、df距離…等)。這樣所切出來的蛋糕，每塊大小就一樣。

資料來源：Rob Eastaway, Jeremy Wyndham，《為什麼公車一次來三班？》（Why Do Buses Come in Threes?），臉譜，2021/07/03。

這背後的觀念其實並不難。我們將正方形的周長展開成一直線，並將原本正方形除a外的另外三個點c、e、g加入（如圖2所示）。

我們可以從圖2中發現，ab距離、bd距離相同。而bd距離等於bc距離加上cd距離。配合三角形面積的公式（底*高/2），ab距離所形成的三角形面積，與bc距離的三角形面積，加上cd距離的三角形面積相同。以此類推，df距離、fh距離、ha距離也與ab距離相同，因此所切出來的每塊蛋糕大小都會相同。

資料來源：Rob Eastaway, Jeremy Wyndham，《為什麼公車一次來三班？》（Why Do Buses Come in Threes?），臉譜，2021/07/03。

最後，公平切蛋糕的問題，背後還有更複雜的內容，已故的中央研究院院士劉炯朗，在《你沒聽過的邏輯課》[2]這本書中，談到「公平」的種類還包括「滿足（satisfaction） 的公平」，亦稱「比例（proportion）的公平」；「沒有妒忌（envy-free） 的公平」；「安心的公平」；「一致的公平」等，並說明在不同的公平下，如何切蛋糕。有興趣的讀者不妨參考一下。

作者：羅凱揚（台科大企管系博士）、蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）
繪圖者：彭煖蘋