常態分配不常態，論「平均人」

無論大家是否有學習過統計，或多或少都聽過「常態分配（The Normal Distribution）」，而因為其圖形呈現鐘形，所以又稱為「鐘形曲線」。舉例來說：在學校時，常會聽到班上同學們的身高、成績呈現常態；在工作時，則會聽到員工的績效呈現常態，所以年底打考績時要淘汰績效差的5%。

由於常態分配太出名，導致許多人誤認為常態分配無所不在，甚至放諸四海皆準。事實上，認為常態分配無所不在的，不只是現代人。早在19世紀中葉，就已經出現這樣的疑問。

比利天文學家阿道夫．凱特勒（Adolphe Quetelet）根據常態分配，提出了「平均人（I’homme moyen，英文average man）」的概念。其實，平均人並非專指一個人，每個群體有其平均人。不同年齡、職業、種族…等，都有其平均人，如圖1所示。

而這個概念可以用來當作不同群體之間比較的工具。舉例來說，比較英國人與法國人平均身高的差異，或者是紀錄不同時間平均身高的變化，來推導出一條成長曲線。

凱特勒蒐集了許許多多有關人類特徵的資料，並相信已找到人類的基本定律（即常態分配）。例如：凱特勒紀錄了5,738名蘇格蘭士兵的胸圍，並與計算出的常態分配值做比較，兩者結果幾乎一致。

凱特勒也蒐集了十萬名法國徵召入伍士兵身高，製作成常態分配圖，並發現士兵的平均身高偏矮，與法國一般男性的曲線不符。由於他認為常態分配本身沒有問題，所以他懷疑，有2%的士兵謊報身高，企圖躲避兵役。

凱特勒花了多年的時間，蒐集各種資料，包括：人們出生率與死亡率；根據氣溫、時間進行分類；調查不同年齡、職業、區域…的人的平均壽命；考量身高、體重…；對酗酒、犯罪、死亡…等進行統計，並繪製圖表說明不同屬性之間的關係。凱特勒並將研究結果，在1835年出版了《論人類與其才能發展（Sur l’homme et le développement de ses facultés : ou, Essai de physique sociale）》一書。

以上的故事看似合理，但常態分配無所不在的概念很早就受到質疑與批評。一樣以平均人為例，其中批評最激烈的是法國數學家暨經濟學家安托萬·奧古斯丁．庫爾諾（Antoine Augustin Cournot）。他以數學裡的直角三角形為例，提到將許多直角三角形的各邊平均之後，就不是直角三角形了。而平均人也不再是個人，而是怪物。曾經就有學者用了一個很諷刺的口吻來描述這個現象，他說，經過男女的性別平均，「平均人」是擁有一個乳房與一顆睪丸的人。

其實，隨著統計學的發展，已經證明了常態分配並非放諸四海皆準。例如：財富的分配就不是常態分配，而是「柏拉圖分配（Pareto Distribution）」，也就是全世界80%的資產，會集中在少數20%人的手上。所以，常態分配其實並不常態。

作者：蘇宇暉（台科大管研所博士候選人）、羅凱揚（台科大企管系博士）

繪圖者：彭煖蘋