常態分配不常態,論「平均人」

無論大家是否有學習過統計,或多或少都聽過「常態分配(The Normal Distribution)」,而因為其圖形呈現鐘形,所以又稱為「鐘形曲線」。舉例來說:在學校時,常會聽到班上同學們的身高、成績呈現常態;在工作時,則會聽到員工的績效呈現常態,所以年底打考績時要淘汰績效差的5%。

由於常態分配太出名,導致許多人誤認為常態分配無所不在,甚至放諸四海皆準。事實上,認為常態分配無所不在的,不只是現代人。早在19世紀中葉,就已經出現這樣的疑問。

比利天文學家阿道夫.凱特勒(Adolphe Quetelet)根據常態分配,提出了「平均人(I’homme moyen,英文average man)」的概念。其實,平均人並非專指一個人,每個群體有其平均人。不同年齡、職業、種族…等,都有其平均人,如圖1所示。

圖1 平均人的概念

而這個概念可以用來當作不同群體之間比較的工具。舉例來說,比較英國人與法國人平均身高的差異,或者是紀錄不同時間平均身高的變化,來推導出一條成長曲線。

凱特勒蒐集了許許多多有關人類特徵的資料,並相信已找到人類的基本定律(即常態分配)。例如:凱特勒紀錄了5,738名蘇格蘭士兵的胸圍,並與計算出的常態分配值做比較,兩者結果幾乎一致。

凱特勒也蒐集了十萬名法國徵召入伍士兵身高,製作成常態分配圖,並發現士兵的平均身高偏矮,與法國一般男性的曲線不符。由於他認為常態分配本身沒有問題,所以他懷疑,有2%的士兵謊報身高,企圖躲避兵役。

凱特勒花了多年的時間,蒐集各種資料,包括:人們出生率與死亡率;根據氣溫、時間進行分類;調查不同年齡、職業、區域…的人的平均壽命;考量身高、體重…;對酗酒、犯罪、死亡…等進行統計,並繪製圖表說明不同屬性之間的關係。凱特勒並將研究結果,在1835年出版了《論人類與其才能發展(Sur l’homme et le développement de ses facultés : ou, Essai de physique sociale)》一書。

以上的故事看似合理,但常態分配無所不在的概念很早就受到質疑與批評。一樣以平均人為例,其中批評最激烈的是法國數學家暨經濟學家安托萬·奧古斯丁.庫爾諾(Antoine Augustin Cournot)。他以數學裡的直角三角形為例,提到將許多直角三角形的各邊平均之後,就不是直角三角形了。而平均人也不再是個人,而是怪物。曾經就有學者用了一個很諷刺的口吻來描述這個現象,他說,經過男女的性別平均,「平均人」是擁有一個乳房與一顆睪丸的人。

其實,隨著統計學的發展,已經證明了常態分配並非放諸四海皆準。例如:財富的分配就不是常態分配,而是「柏拉圖分配(Pareto Distribution)」,也就是全世界80%的資產,會集中在少數20%人的手上。所以,常態分配其實並不常態。

作者:蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)、羅凱揚(台科大企管系博士)

繪圖者:彭煖蘋

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