白努利黃金定理（Theorema Aureum）

　　想像一下，房間的桌上有一個很大的罐子，裡面有2,000顆黑色石頭與3,000顆白色石頭。現在，如果要從裡面取出白色石頭，算一下機率是3,000/5,000=0.6，大概是取出十顆會有六顆是白色石頭。但是，假設我們不知道罐子裡的石頭比例，這時候，我們應該要抽多少顆石頭，才能有「信心」地推論出「接近」背後真正的機率。

　　先說明，我們這裡指的「信心」可能是90%；95%；99%；至於「接近」，又稱「精確度」，可能與真實機率之間，相差±10%、±5%、±1%。

　　其實，在直覺上，信心度越強，接近程度越近，所需的抽出石頭的數量，就要越多。根據瑞士籍的數學家雅各‧白努利在十七世紀的計算，要在99.9%的信心水準下，以及落在±2%的誤差水準下，必須要抽出25,550顆石頭，遠大於罐子裡的5,000顆。（不過，依據現在的計算，只要抽出6,767顆，各位可用網路上的樣本計數器來檢驗一下）

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　　實務上，面對以上的問題，一般會採取降低信心水準或是精確度的做法。以民調為例，如果抽樣人數達到1068人，將有95%的機會，達到±3%誤差的結果。

　　事實上，以上抽取石頭的過程，可以把它想成是一次次的試驗，每次試驗都只有兩種結果，而且結果是隨機出現、彼此獨立的。這樣的試驗，在統計學裡稱為「白努利試驗」，而一次次試驗的過程，稱為「白努利過程」。由於每次試驗都只有兩種結果，因此又稱做「二項分佈」。這在生活上就有很多的應用。像是生男生女、買或不買、是或否，投籃進或不進……等，都可以用白努利試驗來模擬。

　　值得注意的是，要計算一個事件的發生機率，必要先知道隱藏在其背後的機率分佈是什麼。例如投籃比賽，連續投兩次都進球的機率就是1/2*1/2。至於等公車的時間，則用「卜瓦松（Poisson Distribution）」分佈，因為它主要是在單位時間內隨機事件發生次數的機率分布。而像電話交換機之類的服務設施，在一定時間內接受服務請求的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數，甚至是自然災害發生的次數，一樣適用卜瓦松分佈，它的機率分佈就和二項分佈不同。

　　雅各•白努利（Jakob Bernoulli）將他的證明稱為黃金定理，又稱「大數法則」（或弱大數法則）。而這個法則，也在他死後第八年，即1713年出現在他的鉅著《猜度術》（Ars Conjectandi）裡，如圖1所示。